Question

9．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若$sinBsinC-cosBcosC=\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若$a=2，b+c=2\sqrt{3}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （I）利用和差公式即可得出；
（II）利用余弦定理可得bc，再利用三角形面积计算公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵$cosBcosC-sinBsinC=-\frac{1}{2}$，
∴$cos（{B{+}C}）=cos（{π-A}）=-cosA=-\frac{1}{2}$．
即$cosA=\frac{1}{2}$，又A为三角形内角．
∴$A=\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）cosA=$cos\frac{π}{3}$=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{（b+c）^{2}-2bc-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
∴$（2\sqrt{3}）^{2}$-2bc-2²=bc，
解得bc=$\frac{8}{3}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{1}{2}×\frac{8}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了和差公式、余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．