Question

17．如果直线3ax-by+15=0（a＞0，b＞0）和函数f（x）=m^x+1+2（m＞0，m≠1）的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆（x-a+1）²+（y+b-3）²=16的内部或圆上，那么，$\frac{a}{b}$的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{16-5\sqrt{7}}{9}$，$\frac{16+5\sqrt{7}}{9}$）
• B． （$\frac{16-5\sqrt{7}}{9}$，$\frac{16+5\sqrt{7}}{9}$）
• C． [$\frac{16-5\sqrt{7}}{9}$，$\frac{16+5\sqrt{7}}{9}$]
• D． （$\frac{16-5\sqrt{7}}{9}$，$\frac{16+5\sqrt{7}}{9}$]

Answer 1

分析 由幂函数求出定点坐标，把定点坐标代入直线和圆的方程，求出a的取值范围，从而求出$\frac{a}{b}$的取值范围．

解答 解：∵当x+1=0，即x=-1时，y=f（x）=m^x+1+2=1+2=3，
∴函数f（x）的图象恒过一个定点（-1，3）；
又直线3ax-by+15=0过定点（-1，3），
∴a+b=5①；
又定点（-1，3）在圆（x-a+1）²+（y+b-3）²=16的内部或圆上，
∴（-1-a+1）²+（3+b-3）²≤16，
即a²+b²≤16②；
由①②得，$\frac{5-\sqrt{7}}{2}$≤b≤$\frac{5+\sqrt{7}}{2}$，
∴$\frac{2}{5+\sqrt{7}}$≤$\frac{1}{b}$≤$\frac{2}{5-\sqrt{7}}$，
∴$\frac{a}{b}$=$\frac{5}{b}$-1∈[$\frac{16-5\sqrt{7}}{9}$，$\frac{16+5\sqrt{7}}{9}$]
故选：C．

点评 本题考查了直线与圆的方程以及函数与不等式的应用问题，是一道简单的综合试题．