Question

12．（Ⅰ）求右焦点坐标是（2，0），且经过点$（-2，-\sqrt{2}）$的椭圆的标准方程
（Ⅱ）求与椭圆$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{5}=1$共焦点且过点$（3\sqrt{2}，2\sqrt{2}）$的双曲线的标准方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，根据椭圆的简单性质，及已知点坐标列出方程组，求出a²与b²的值，即可确定出椭圆的标准方程；
（Ⅱ）由已知椭圆方程找出a与b的值，进而求出c的值，即为双曲线方程c的值，设双曲线解析式为$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}$=1，利用双曲线的简单性质及已知点坐标，求出m²与n²的值，即可确定出双曲线解析式．

解答 解：（Ⅰ）设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-{b}^{2}=4}\\{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{2}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，
解得：a²=8，b²=4，
则所求椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（Ⅱ）由椭圆方程得：a=5，b=$\sqrt{5}$，
∴c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
设双曲线解析式为$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}$=1，
可得$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}+{n}^{2}=20}\\{\frac{18}{{m}^{2}}-\frac{8}{{n}^{2}}=1}\end{array}\right.$，
解得：m²=n²=10，
则双曲线解析式为$\frac{{x}^{2}}{10}$-$\frac{{y}^{2}}{10}$=1．

点评 此题考查了椭圆的标准方程，以及双曲线的标准方程，熟练掌握各自的简单性质是解本题的关键．