Question

3．已知数列{a_n}满足${a_n}=\left\{\begin{array}{l}1（{n=1，2}）\\{a_{n-1}}+{a_{n-2}}（{n≥3}）\end{array}\right.$，则a₂₀₁₆除以4所得到的余数是（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 数列{a_n}满足${a_n}=\left\{\begin{array}{l}1（{n=1，2}）\\{a_{n-1}}+{a_{n-2}}（{n≥3}）\end{array}\right.$，可得a₁=a₂=1，a₃=2，a₄=3，a₅=5，a₆=8，a₇=13，a₈=21，a₉=34，a₁₀=55，a₁₁=89，a₁₂=144，…，为斐波那契数列，可得a_n除以4d的余数分别为：1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，…，即可得出周期性．

解答 解：∵数列{a_n}满足${a_n}=\left\{\begin{array}{l}1（{n=1，2}）\\{a_{n-1}}+{a_{n-2}}（{n≥3}）\end{array}\right.$，
∴a₁=a₂=1，a₃=2，a₄=3，a₅=5，a₆=8，a₇=13，a₈=21，a₉=34，a₁₀=55，a₁₁=89，a₁₂=144，…，
为斐波那契数列，
∴a_n=$\frac{1}{\sqrt{5}}$$[（\frac{1+\sqrt{5}}{2}）^{n+1}-（\frac{1-\sqrt{5}}{2}）^{n+1}]$，
可得a_n除以4d的余数分别为：1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，…，
其余数的周期为6，
而2016=4×504，
∴a₂₀₁₆除以4所得到的余数是0．
故选：A．

点评 本题考查了斐波那契数列通项公式及其性质、整除的理论，考查了推理能力与技能数列，属于中档题．