Question

13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A=45°，cosB=$\frac{4}{5}$．
（Ⅰ）求sinC的值；
（Ⅱ）若BC=10，D为AB的中点，求AB，CD的长．

Answer 1

分析 （I）由cosB=$\frac{4}{5}$，B∈（0°，180°），可得sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$．利用sinC=sin（B+45°）展开即可得出．
（II）由正弦定理可得：$\frac{b}{sinB}=\frac{10}{sin4{5}^{°}}$，可得b．由（I）可得：cosB=$\frac{4}{5}$＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得B＜45°，C＞90°，cosC=-$\sqrt{1-si{n}^{2}C}$．由余弦定理可得：AB．在△ACD中，利用余弦定理可得CD．

解答 解：（I）∵cosB=$\frac{4}{5}$，B∈（0°，180°），
∴sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{3}{5}$．
∴sinC=sin（B+45°）=sinBcos45°+cosBsin45°=$\frac{3}{5}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{4}{5}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$．
（II）由正弦定理可得：$\frac{b}{sinB}=\frac{10}{sin4{5}^{°}}$，∴b=$\frac{10×\frac{3}{5}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=6$\sqrt{2}$．
由（I）可得：cosB=$\frac{4}{5}$＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴B＜45°，
∴B+A＜90°，
∴C＞90°，
∴cosC=-$\sqrt{1-si{n}^{2}C}$=-$\frac{\sqrt{2}}{10}$．
由余弦定理可得：AB²=$（6\sqrt{2}）^{2}$+10²-2×$6\sqrt{2}$×10cosC=196，解得AB=14．
在△ACD中，CD²=$（6\sqrt{2}）^{2}+{7}^{2}-2×6\sqrt{2}×7$cos45°=37，
∴CD=$\sqrt{37}$．

点评 本题考查了和差公式、正弦定理余弦定理、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．