Question

8．已知点（n，$\frac{{a}_{n}}{n}$）在二次函数f（x）=x²-10x+32的图象上，若存在正整数k，当任意n＞k（k∈N^*）时，恒有a_n＞a_k，则k的最小值为4．

Answer 1

分析 点（n，$\frac{{a}_{n}}{n}$）在二次函数f（x）=x²-10x+32的图象上，可得：$\frac{{a}_{n}}{n}$=n²-10n+32，化为a_n=n³-10n²+32n，令f（x）=x³-10x²+32x，x≥1．利用导数研究函数的单调性即可得出．

解答 解：∵点（n，$\frac{{a}_{n}}{n}$）在二次函数f（x）=x²-10x+32的图象上，
∴$\frac{{a}_{n}}{n}$=n²-10n+32，
∴a_n=n³-10n²+32n，
令f（x）=x³-10x²+32x，x≥1．
∴f′（x）=3x²-20x+32=（3x-8）（x-4），
令f′（x）＞0，解得x＞4或1≤x＜$\frac{8}{3}$，此时函数f（x）单调递增；令f′（x）＜0，解得$\frac{8}{3}$＜x＜4，此时函数f（x）单调递减．
可知当x=4时，函数f（x）取得极小值即最小值，f（4）=a₄=4³-10×4²+32×4=32．
因此存在正整数k，当任意n＞k（k∈N^*）时，恒有a_n＞a_k，则k的最小值为4．
故答案为：4．

点评 本题考查了数列的通项公式、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．