Question

16．函数$f（x）=\frac{x^2}{x-1}，x∈（{1，+∞}）$的值域为[4，+∞）．

Answer 1

分析 求出原函数的导函数，得到导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，求出函数的极值，进一步求得函数的最值得答案．

解答 解：由$f（x）=\frac{x^2}{x-1}，x∈（{1，+∞}）$，得
f′（x）=$\frac{2x（x-1）-{x}^{2}}{（x-1）^{2}}=\frac{{x}^{2}-2x}{（x-1）^{2}}$，
由f′（x）=0，得x=0（舍）或x=2．
∴当x∈（1，2）时，f′（x）＜0，当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，
则当x=2时，函数取得极小值，也就是最小值为f（2）=4．
∴函数$f（x）=\frac{x^2}{x-1}，x∈（{1，+∞}）$的值域为[4，+∞）．
故答案为：[4，+∞）．

点评 本题考查利用导数研究函数的极值，训练了利用导数求函数的最值，是中档题．