Question

7．已知函数f（x）=|lgx|．
（1）求f²（5）+f（$\frac{1}{2}$）•f（50）的值；
（2）若函数F（x）=f²（x）-2mf（x）+m²-1有且只有三个零点，求m的值；
（3）若0＜a＜b，且f（a）=f（b），求2a+3b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用对数性质、运算法则求解．
（2）F（x）=（|f（x）|-m）²-1，令t=f（x）=|lgx|（t＞0），因式分解，根据题意，结合f（x）=|lgx|的图象可得答案．
（3）由已知|lga|=|lgb|，得2a+3b=2a+$\frac{3}{a}$，由此能示出2a+3b的取值范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）=|lgx|，
∴f²（5）+f（$\frac{1}{2}$）•f（50）
=|lg5|²+|lg$\frac{1}{2}$|•|lg50|
=lg²5+lg2（1+lg5）
=lg5（lg2+lg5）+lg2
=lg5+lg2
=1．
（2）∵F（x）=f²（x）-2mf（x）+m²-1=（f（x）-m）²-1，
设t=f（x），t＞0．
则F（x）=（t-m）²-1=（t-m-1）（t-m+1），
∵函数F（x）=f²（x）-2mf（x）+m²-1有且只有三个零点，
∴F（x）=（t-m）²-1=（t-m-1）（t-m+1）=0有且只有三个根，
如图，t=m+1有两个根，t=m-1只有一个根，即t=m-1=0，
∴m=1．
（3）因为f（a）=f（b），所以|lga|=|lgb|，所以a=b（舍去），或b=$\frac{1}{a}$，
所以2a+3b=2a+$\frac{3}{a}$，
又0＜a＜b，所以0＜a＜1＜b，
令f（a）=2a+$\frac{3}{a}$，由“对勾”函数的性质知函数f（a）在a∈（0，1）上为减函数，
所以f（a）＞f（1）=5，即2a+3b的取值范围是（5，+∞）．

点评 本题考查对式化简求值，考查实数值及取值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对数性质、运算法则、函数性质的合理运用．