Question

2．在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知a²，b²，c²成等差数列，则cosB的最小值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 a²，b²，c²成等差数列，可得2b²=a²+c²，利用余弦定理与基本不等式的性质即可得出．

解答 解：在△ABC 中，∵a²，b²，c²成等差数列，
∴2b²=a²+c²，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{2（{a}^{2}+{c}^{2}）-2{b}^{2}}{4ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{4ac}$≥$\frac{2ac}{4ac}$=$\frac{1}{2}$，当且仅当a=c=b时取等号．
∴cosB的最小值为$\frac{1}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查了等差数列的性质、余弦定理与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．