Question

10．己知点A，B是函数y=2|x|（x∈[-1，1]）图象上的两个动点，AB∥x轴，点B在y轴的右侧，点M（1，m）（m＞2）是线段BC的中点．
（1）设点B的横坐标为a，△ABC的面积为S，求S关于a的函数解析式S=f（a）；
（2）若（1）中的f（a）满足f（a）≤$\frac{{m}^{2}}{6}$-2mk-1对所有a∈（0，1]，m∈（4，+∞）恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出A，B，C三点坐标，计算△的底边和高，代入面积公式得出S（a）；
（2）求出S（a）的最大值，令S_max（a）≤$\frac{{m}^{2}}{6}$-2mk-1恒成立，分离参数k使用基本不等式解出函数最值．

解答 解：（1）A（-a，2a），B （a，2a），C（2-a，2m-2a）．
∴S（a）=$\frac{1}{2}$×2a×（2m-2a-2a）=-4a²+2ma．（0＜a≤1）．
（2）S（a）的图象开口向下，对称轴为a=$\frac{m}{4}$＞1，∴S（a）在（0，1]上单调递增，∴S_max（a）=S（1）=2m-4．
∵f（a）≤$\frac{{m}^{2}}{6}$-2mk-1恒成立，∴2m-4≤$\frac{{m}^{2}}{6}$-2mk-1恒成立，即k≤$\frac{m}{12}$+$\frac{3}{2m}$-1恒成立．
∵$\frac{m}{12}$+$\frac{3}{2m}$-1≥2$\sqrt{\frac{1}{8}}$-1=$\frac{\sqrt{2}}{2}-1$，当且仅当$\frac{m}{12}=\frac{3}{2m}$即m=3$\sqrt{2}$时取等号．
∴k≤$\frac{\sqrt{2}}{2}-1$．

点评 本题考查了函数的单调性与最值，函数恒成立问题，属于中档题．