Question

20．已知数列{a_n}满足：?m，n∈N^*都有a_m•a_n=a_m+n，且a₁=2．记数列${b_n}=\frac{{{a_n}^2+{a_{2n}}}}{{{a_{2n-1}}}}$的前n项和为S_n，则S_n=4n．

Answer 1

分析 在已知递推式中，取m=1可得数列{a_n}是以2为首项，以2为公比的等比数列，求出等比数列的通项公式，代入${b_n}=\frac{{{a_n}^2+{a_{2n}}}}{{{a_{2n-1}}}}$后得答案．

解答 解：令m=1，则由a_m•a_n=a_m+n，得
a_na₁=a_n+1，即$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}={a}_{1}=2$，
∴数列{a_n}是以2为首项，以2为公比的等比数列，
则${a}_{n}={2}^{n}$，
∴${b_n}=\frac{{{a_n}^2+{a_{2n}}}}{{{a_{2n-1}}}}$=$\frac{{2}^{2n}+{2}^{2n}}{{2}^{2n-1}}=\frac{{2}^{2n+1}}{{2}^{2n-1}}=4$，
∴数列${b_n}=\frac{{{a_n}^2+{a_{2n}}}}{{{a_{2n-1}}}}$的前n项和为S_n=4n．
故答案为：4n．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，是中档题．