Question

9．函数f（θ）=12cosθ+5sinθ（θ∈[0，2π））在θ=θ₀处取得最小值，则点M（cosθ₀，sinθ₀）关于坐标原点对称的点坐标是（$\frac{12}{13}$，$\frac{5}{13}$）．

Answer 1

分析 由辅助角公式可得f（θ）=13sin（θ+φ），其中sinφ=$\frac{12}{13}$，cosφ=$\frac{5}{13}$，由三角函数的最值和诱导公式以及对称性可得．

解答 解：∵f（θ）=12cosθ+5sinθ=13（$\frac{12}{13}$cosθ+$\frac{5}{13}$sinθ）
=13sin（θ+φ），其中sinφ=$\frac{12}{13}$，cosφ=$\frac{5}{13}$，
∴当θ+φ=$\frac{3π}{2}$时，函数f（θ）取最小值-13，
此时θ=θ₀=$\frac{3π}{2}$-φ，故cosθ₀=cos（$\frac{3π}{2}$-φ）=-sinφ=-$\frac{12}{13}$，
sinθ₀=sin（$\frac{3π}{2}$-φ）=-cosφ=-$\frac{5}{13}$，即M（-$\frac{12}{13}$，-$\frac{5}{13}$），
由对称性可得所求点的坐标为（$\frac{12}{13}$，$\frac{5}{13}$），
故答案为：（$\frac{12}{13}$，$\frac{5}{13}$）．

点评 本题考查两角和与差的正弦函数，涉及辅助角公式和诱导公式，属中档题．