Question

15．已知函数f（x）=（x-a）sinx+cosx，x∈（0，π），当a＞$\frac{π}{2}$时，求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 求出f′（x），根据a的范围讨论f′（x）的符号，得出f（x）的单调性和单调区间．

解答 解：f（x）=xsinx-asinx+cosx，∴f′（x）=sinx+xcosx-acosx-sinx=（x-a）cosx．
令f′（x）=0得x=a或x=$\frac{π}{2}$．
（1）若$\frac{π}{2}$＜a＜π，则当0＜x＜$\frac{π}{2}$时，x-a＜0，cosx＞0，∴f′（x）＜0，
当$\frac{π}{2}$＜x＜a时，x-a＜0，cosx＜0，∴f′（x）＞0，
当a＜x＜π时，x-a＞0，cosx＜0，∴f′（x）＜0．
（2）若a≥π，则当0$＜x＜\frac{π}{2}$时，x-a＜0，cosx＞0，∴f′（x）＜0，
当$\frac{π}{2}＜x＜π$时，x-a＜0，cosx＜0，∴f′（x）＞0．
综上：当$\frac{π}{2}$＜a＜π时，f（x）的减区间是（0，$\frac{π}{2}$），（a，π），增区间是（$\frac{π}{2}$，a）；
当a≥π时，f（x）的减区间是（0，$\frac{π}{2}$），增区间是（$\frac{π}{2}$，π）．

点评 本题考查了导数与函数单调性的关系，属于中档题．