Question

3．设f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（2sin$\frac{x}{2}$）．
（1）求这个函数的单调递减区间；
（2）求使f（x）＜0的x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出函数的定义域，利用复合函数的单调性之间的关系进行求解即可．
（2）利用对数函数的图象和性质可得sin$\frac{x}{2}$$＞\frac{1}{2}$，再根据正弦函数的图象和性质可得：2kπ+$\frac{π}{6}$＜$\frac{x}{2}$＜2kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z，即可解得使f（x）＜0的x的取值范围．

解答 解：（1）要使函数有意义，则2sin$\frac{x}{2}$＞0，即x∈（4kπ，4kπ+2π），k∈Z．
设t=2sin$\frac{x}{2}$，则当x∈（4kπ，4kπ+π）时，函数t=2sin$\frac{x}{2}$单调递增，
当x∈（4kπ+π，4kπ+2π）时，函数t=2sin$\frac{x}{2}$单调递减．
∵函数y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$t，在定义域上为单调递减函数，
∴根据复合函数的单调性之间的关系可知，
当x∈（4kπ，4kπ+π）时，函数f（x）单调递减，
即函数f（x）的递减区间为（4kπ，4kπ+π），k∈Z．
（2）∵f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（2sin$\frac{x}{2}$）＜0，
∴2sin$\frac{x}{2}$＞1，即：sin$\frac{x}{2}$$＞\frac{1}{2}$，
∴解得：2kπ+$\frac{π}{6}$＜$\frac{x}{2}$＜2kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z．
∴x∈（4kπ+$\frac{π}{3}$，4kπ+$\frac{5π}{3}$），k∈Z．

点评 本题主要考查了正弦函数的图象和性质，对数函数的图象和性质，考查了复合函数单调性的判断，利用复合函数同增异减的原则进行判断即可，注意要先求出函数的定义域，属于中档题．