Question

18．解不等式：-x²-$\sqrt{2}$•x+4≤0．

Answer 1

分析 解法一：利用判别式△求出不等式对应方程的两个实数根，写出不等式的解集；
解法二：求出方程的两个实数根，利用符号法则求出不等式的解集．

解答 解法一：不等式可化为x²+$\sqrt{2}$x-4≥0，
因为△=${（\sqrt{2}）}^{2}$-4×1×（-4）=18＞0，方程有两个不相等的实数根，…2分
令${x^2}+\sqrt{2}•x-4=0$，
解得：${x_1}=\frac{{-\sqrt{2}-\sqrt{18}}}{2}=-2\sqrt{2}$，${x_2}=\frac{{-\sqrt{2}+\sqrt{18}}}{2}=\sqrt{2}$；…5分
而$y={x^2}+\sqrt{2}x-4$的图象开口向上，…8分
所以原不等式的解集为{x|x≤-2$\sqrt{2}$或x≥$\sqrt{2}$}；…10分
解法二：令$-{x^2}-\sqrt{2}•x+4=0$，
解得：${x_1}=-2\sqrt{2}，{x_2}=\sqrt{2}$；…
原不等式等价于：$-（x-（-2\sqrt{2}））（x-\sqrt{2}）≤0$，
即$（x+2\sqrt{2}）（x-\sqrt{2}）≥0$；…（7分）
当$\left\{\begin{array}{l}x+2\sqrt{2}≥0\\ x-\sqrt{2}≥0\end{array}\right.$时，$x≥\sqrt{2}$；
当$\left\{\begin{array}{l}x+2\sqrt{2}≤0\\ x-\sqrt{2}≤0\end{array}\right.$时，$x≤-2\sqrt{2}$；
∴原不等式解集为{x|x≤-2$\sqrt{2}$或x＞$\sqrt{2}$}．…（10分）
注：解集也可以表示$（-∞，-2\sqrt{2}]∪[\sqrt{2}，+∞）$．

点评 本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题目．