Question

18．已知函数f（x）=$\frac{6co{s}^{4}（-x）-5si{n}^{2}（-x）-4}{cos2x}$，求f（x）的定义域，判断它的奇偶性，并求其值或．

Answer 1

分析 求定义域只需分母不为0即可，奇偶性看f（-x）和f（x）的关系，求其值域需对函数进行恒等变形，统一成余弦，再用降幂公式即可．

解答 解：f（x）=$\frac{6co{s}^{4}（-x）-5si{n}^{2}（-x）-4}{cos2x}$=$\frac{6co{s}^{4}x-5si{n}^{2}x-4}{cos2x}$，
由cos2x≠0，得$2x≠kπ+\frac{π}{2}$，
解得$x≠\frac{kπ}{2}+\frac{π}{4}，k∈Z$．
∵f（x）的定义域为$\{x|x∈R且x≠\frac{kπ}{2}+\frac{π}{4}，k∈Z\}$．
∴f（x）的定义域关于原点对称，
∵f（-x）=$\frac{6co{s}^{4}（-x）-5si{n}^{2}（-x）-4}{cos2x}$=$\frac{6co{s}^{4}x-5si{n}^{2}x-4}{cos2x}$=f（x），
∴f（x）是偶函数．
当$x≠\frac{kπ}{2}+\frac{π}{4}\;，k∈z$时，
f（x）=$\frac{6co{s}^{4}x-5si{n}^{2}x-4}{cos2x}$=$\frac{6co{s}^{4}x-5（1-co{s}^{2}x）-4}{cos2x}$=$\frac{6co{s}^{4}x+co{s}^{2}x-9}{cos2x}$
=$\frac{6×（\frac{1+cos2x}{2}）^{2}+\frac{1+cos2x}{2}-9}{cos2x}$=$\frac{3co{s}^{2}2x+3cos2x-15}{cos2x}$=3cos2x-$\frac{15}{cos2x}$+3，
设t=cos2x，则-1≤t＜0或0＜t≤1，
则函数等价为y=3t-$\frac{15}{t}$+3，则函数在-1≤t＜0和0＜t≤1分别单调递增，
当-1≤t＜0时，y≥-3+15+3=15
当0＜t≤1时，y≤3-15+3=-9，
即函数的值域为（-∞，-9]∪[15，+∞）．

点评 本题考查函数的定义域，奇偶性和值域的求解，利用三角函数的恒等变形及三角函数的性质，结合函数奇偶性和单调性与值域的关系是解决本题的关键．，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力．