Question

3．若sinα+cosα=$\frac{1}{2}$，则cos2α=±$\frac{\sqrt{7}}{4}$．

Answer 1

分析 由条件利用同角三角函数的基本关系求得cosα的值，可得sin²α的值，再利用二倍角公式求得cos2α的值．

解答 解：∵sinα+cosα=$\frac{1}{2}$，sin²α+cos²α=1，∴${（\frac{1}{2}-cosα）}^{2}$+cos²α=1，
求得cosα=$\frac{1±\sqrt{7}}{4}$，∴cos²α=$\frac{4±\sqrt{7}}{8}$．
当cos²α=$\frac{4+\sqrt{7}}{8}$，sin²α=$\frac{4-\sqrt{7}}{8}$，cos2α=cos²α-sin²α=$\frac{\sqrt{7}}{4}$；
当cos²α=$\frac{4-\sqrt{7}}{8}$，sin²α=$\frac{4+\sqrt{7}}{8}$，cos2α=cos²α-sin²α=-$\frac{\sqrt{7}}{4}$；
故答案为：±$\frac{\sqrt{7}}{4}$．

点评 此题考查了二倍角的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键，属于基础题．