Question

15．若$\overrightarrow{m}$=（1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{n}$=（sin（ωx+φ），cos（ωx+φ））（ω＞0，0＜|φ|＜$\frac{π}{2}$），f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$，已知点P（x₁，y₁），Q（x₃，y₂）是函数f（x）图象上的任意两点，若|y₁-y₂|=4时，|x₁-x₂|最小值为$\frac{π}{2}$，且函数f（x）为奇函数．
（I）求f（$\frac{π}{6}$）的值；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位后，得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）根据向量的数量积公式写出f（x）的解析式并化简，根据|y₁-y₂|=4时，|x₁-x₂|最小值为$\frac{π}{2}$，求出周期，继而得到ω，根据f（x）的奇偶性和φ的范围得出φ．得出f（x）的解析式，求出f（$\frac{π}{6}$）；
（2）根据函数图象的变换规律写出g（x）的解析式，结合正弦函数的单调性列出不等式解出g（x）的单调区间．

解答 解：（1）f（x）=sin（ωx+φ）+$\sqrt{3}$cos（ωx+φ）=2sin（ωx+φ+$\frac{π}{3}$）．∴f_max（x）-f_min（x）=4．
∵|y₁-y₂|=4时，|x₁-x₂|最小值为$\frac{π}{2}$，∴f（x）的周期T=$\frac{π}{2}$×2=π．∴ω=2．
∵f（x）是奇函数，且0＜|φ|＜$\frac{π}{2}$，∴φ=-$\frac{π}{3}$．∴f（x）=2sin2x，∴f（$\frac{π}{6}$）=2sin$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$．
（2）g（x）=2sin2（x-$\frac{π}{6}$）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$），
令-$\frac{π}{2}+2kπ$≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}+2kπ$，解得-$\frac{π}{12}+kπ$≤x≤$\frac{5π}{12}+kπ$，
∴函数g（x）单调递增区间是[-$\frac{π}{12}+kπ$，$\frac{5π}{12}+kπ$]，k∈Z．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，三角函数的恒等变换，三角函数的单调性，属于中档题．