Question

7．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x（x-1），x≥0}\\{-\frac{1}{3}x（x-1），x＜0}\end{array}\right.$．
（1）求函数f（x）在区间[b，2]（b＜2）上的最小值；
（2）是否存在区间[m，n]（m＜n），使得函数f（x）的定义域和值域都为[m，n]，若存在写出满足条件的所有区间[m，n]，若不存在请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求得x≥0时，f（x）的对称轴，讨论b≥$\frac{1}{2}$时，当0≤b＜$\frac{1}{2}$时，当-$\frac{1}{2}$＜b＜0，当b≤-$\frac{1}{2}$时，运用单调性，即可得到最小值；
（2）假设存在区间[m，n]（m＜n），使得函数f（x）的定义域和值域都为[m，n]．讨论当m≥$\frac{1}{2}$时，当0＜m＜$\frac{1}{2}$时，n≥$\frac{1}{2}$，当-$\frac{1}{2}$＜m＜0，若n≥1，当m≤-$\frac{1}{2}$，n≤0时，结合单调性，求得最值，解方程即可得到所求．

解答 解：（1）当x≥0时，f（x）的对称轴为x=$\frac{1}{2}$，
当b≥$\frac{1}{2}$时，区间[b，2]为增区间，即有x=b时，
取得最小值b（b-1）；
当0≤b＜$\frac{1}{2}$时，f（x）在[b，$\frac{1}{2}$）递减，（$\frac{1}{2}$，2]递增，
即有x=$\frac{1}{2}$处取得最小值，且为-$\frac{1}{4}$；
由-$\frac{1}{3}$b（b-1）=-$\frac{1}{4}$，解得b=-$\frac{1}{2}$或$\frac{3}{2}$．
当-$\frac{1}{2}$＜b＜0，可得区间[b，2]的最小值为f（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{4}$；
当b≤-$\frac{1}{2}$时，f（b）≤f（$\frac{1}{2}$），即有区间[b，2]上的最小值为f（b）=-$\frac{1}{3}$b（b-1）．
综上可得，当b≥$\frac{1}{2}$时，f（x）的最小值为b（b-1）；
当-$\frac{1}{2}$＜b＜$\frac{1}{2}$时，f（x）的最小值为-$\frac{1}{4}$；
当b≤-$\frac{1}{2}$时，最小值为-$\frac{1}{3}$b（b-1）．
（2）假设存在区间[m，n]（m＜n），使得函数f（x）的定义域和值域都为[m，n]．
当m≥$\frac{1}{2}$时，区间[m，n]为增区间，即有f（m）=m，f（n）=n，
可得m，n为方程x（x-1）=x的两根，可得m=0，n=2，不成立；
当0＜m＜$\frac{1}{2}$时，n≥$\frac{1}{2}$，f（x）的最小值为-$\frac{1}{4}$，不成立；
若0＜n＜$\frac{1}{2}$，区间[m，n]为减区间，即有f（m）=n，f（n）=m，
即为m（m-1）=n，n（n-1）=m，解得m=-n不成立；
当-$\frac{1}{2}$＜m＜0，若n≥1，即有f（x）的最小值为-$\frac{1}{4}$，最大值为f（n）=n（n-1），
由假设可得m=-$\frac{1}{4}$，n（n-1）=n，可得n=2，即有区间[-$\frac{1}{4}$，2]成立；
若$\frac{1}{2}$＜n＜1时，f（x）的最小值为-$\frac{1}{4}$，最大值为0，显然不成立；
若0＜n≤$\frac{1}{2}$时，f（x）的最大值为0，显然不成立；
当m≤-$\frac{1}{2}$，n≤0时，区间[m，n]为增区间，即有f（m）=m，f（n）=n，
可得m，n为方程-$\frac{1}{3}$x（x-1）=x的两根，可得m=-2，n=0成立．
综上可得，存在区间[m，n]（m＜n），且为[-2，0]，或[-2，2]，或[-$\frac{1}{4}$，2]，
使得函数f（x）的定义域和值域都为[m，n]．

点评 本题考查分段函数的运用，考查函数的定义域和值域，以及最值的求法，注意运用分类讨论的思想方法，属于中档题．