Question

11．若函数f（x）=asinx+bcosx（a，b∈R），非零向量$\overrightarrow{m}$=（a，b），我们称$\overrightarrow{m}$为函数f（x）的“伙伴向量”，f（x）为向量$\overrightarrow{m}$的“伙伴函数”．
（1）已知函数f（x）=（$\sqrt{3}$sinωx+cosωx）cosωx-$\frac{1}{2}$，其中ω＞0，且函数f（x）的最小正周期为2π，求f（x）的“伙伴向量”$\overrightarrow{m}$的模；
（2）对于函数φ（x）=sinxcos2x，是否存在“伙伴向量”？若存在，求出φ（x）的“伙伴向量”，若不存在，请说明理由；
（3）记向量$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}$）的“伙伴函数”为h（x），如果关于x的方程h（x）-k=0在[0，$\frac{π}{2}$]内有两个不相等的实根，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数基本关系式、倍角公式、两角和差的正弦公式、三角函数的性质、“伙伴向量”的定义即可得出；
（2）若函数φ（x）=sinxcos2x存在“伙伴向量”，则存在a，b，使得sinxcos2x=asinx+bcosx对任意的x∈R都成立，通过对x取值即可判断出；
（3）求得h（x）的解析式，由两角和的正弦公式，结合正弦函数的图象，即可得到h（x）的单调性，进而得到k的范围．

解答 解：（1）f（x）=（sinωx+cosωx）²+2cos²ωx-2
=sin²ωx+cos²ωx+sin2ωx+1+cos2ωx-2=sin2ωx+cos2ωx
=$\sqrt{2}$sin（2ωx+$\frac{π}{4}$），
依题意得$\frac{2π}{2ω}$=2π，故ω=$\frac{1}{2}$．
∴f（x）=sinx+cosx，即f（x）的“伙伴向量”为$\overrightarrow{m}$=（1，1），
可得|$\overrightarrow{m}$|=$\sqrt{2}$；
（2）若函数φ（x）=sinxcos2x存在“伙伴向量”，
即存在a，b，使得sinxcos2x=asinx+bcosx对任意的x∈R都成立，
令x=0，得b=0，
可得sinxcos2x=asinx，即sinx=0或cos2x=a，
显然上式对任意的x∈R不都成立，
则函数φ（x）=sinxcos2x不存在“伙伴向量”；
（3）由题意可得h（x）=sinx+$\sqrt{3}$cosx=2（$\frac{1}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx）
=2sin（x+$\frac{π}{3}$），在[0，$\frac{π}{2}$]内，[0，$\frac{π}{6}$]递增，[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]递减，
且h（0）=$\sqrt{3}$，h（$\frac{π}{6}$）=2，h（$\frac{π}{2}$）=1，
由关于x的方程h（x）=k在[0，$\frac{π}{2}$]内有两个不相等的实根，
可得k的范围是[$\sqrt{3}$，2]．

点评 本题考查新定义的理解和运用，考查了三角函数基本关系式、倍角公式、两角和差的正弦公式、三角函数的性质，同时考查三角函数的变换方法等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．