Question

16．已知数列{a_n}的通项公式为a_n=（n+1）•2ⁿ，S_n为数列{a_n}的前n项和，若不等式（-1）ⁿλ＜$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n+1}}$对?n∈N^*恒成立，则实数λ的取值范围为$（-\frac{1}{4}，\frac{2}{5}）$．

Answer 1

分析 S_n=2×2+3×2²+4×2³+…+（n+1）•2ⁿ，利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．不等式（-1）ⁿλ＜$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n+1}}$对?n∈N^*恒成立，
转化为（-1）ⁿλ＜$\frac{n}{2（n+1）}$对?n∈N^*恒成立，对n分类讨论，利用数列的单调性即可得出．

解答 解：S_n=2×2+3×2²+4×2³+…+（n+1）•2ⁿ，
2S_n=2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ+（n+1）•2ⁿ⁺¹，
∴-S_n=2×2+（2²+2³+…+2ⁿ）-（n+1）•2ⁿ⁺¹=2+$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-（n+1）•2ⁿ⁺¹=-n•2ⁿ⁺¹，
∴S_n=n•2ⁿ⁺¹．
∴$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n+1}}$=$\frac{n•{2}^{n+1}}{（n+1）•{2}^{n+2}}$=$\frac{n}{2（n+1）}$，
∴不等式（-1）ⁿλ＜$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n+1}}$对?n∈N^*恒成立，
∴（-1）ⁿλ＜$\frac{n}{2（n+1）}$对?n∈N^*恒成立，
当n=2k（k∈N^*）时，λ＜$\frac{2k}{2（2k+1）}$=$\frac{k}{2k+1}$，由数列$\{\frac{k}{2k+1}\}$单调递增，可得：λ＜$\frac{1}{3}$．
当n=2k-1（k∈N^*）时，-λ＜$\frac{2k-1}{4k}$，由数列$\{\frac{2k-1}{4k}\}$单调递增，可得：-λ＜$\frac{1}{4}$，解得$λ＞-\frac{1}{4}$．
可得：实数λ的取值范围为$（-\frac{1}{4}，\frac{1}{3}）$．
故答案为：$（-\frac{1}{4}，\frac{1}{3}）$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等比数列的前n项和公式、恒成立问题的等价转化方法、分类讨论、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．