Question

1．若关于x的方程cos²x-sinx+a=0在[0，π]内有解，则实数a的取值范围是[-1，1]．

Answer 1

分析 由题意可得方程t²+t-a-1=0 在[-1，1]上有解，函数f（t）=t²+t-a-1 的对称轴为t=-$\frac{1}{2}$，故有f（0）•f（1）≤0，解此不等式组求得a的取值范围．

解答 解：∵方程cos²x-sinx+a=0，即sin²x+sinx-a-1=0．
由于x∈[0，π]，∴0≤sinx≤1．
故方程t²+t-a-1=0 在[0，1]上有解．
又方程t²+t-a-1=0 对应的二次函数f（t）=t²+t-a-1的对称轴为t=-$\frac{1}{2}$，
故有f（0）•f（1）≤0，即（a-1）（a+1）≤0．
解得-1≤a≤1．
故答案为：[-1，1]．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，一元二次方程的根的分布与系数的关系，体现了转化的数学思想．