Question

6．（1）函数f（x）=x²-（3a-1）x+a²在[1，+∞）是增函数，求实数a的取值范围；
（2）函数f（x）=x²-（3a-1）x+a²在[1，5]上是减函数，求f（2）的取值范围；
（3）函数f（x）=x²-（5a-2）x-4在[2，+∞）上是增函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出函数的对称轴，根据函数的单调性得到关于a的不等式，解出即可；
（2）通过函数f（x）=x²-（3a-1）x+a²在[1，5]上是减函数可知对称轴在区间的右边可知a≥$\frac{11}{3}$，进而f（2）≥（$\frac{11}{3}$-3）²-3=-$\frac{23}{9}$；
（3）先求出函数的对称轴，根据函数的单调性得到关于a的不等式，解出即可．

解答 解：（1）函数f（x）=x²-（3a-1）x+a²在[1，+∞）是增函数，
则对称轴x=$\frac{3a-1}{2}$≤1，解得：a≤1；
（2）：f（x）=x²-（3a-1）x+a²=（x-$\frac{3a-1}{2}$）²-$\frac{{5a}^{2}-6a+1}{4}$，
∵函数f（x）=x²-（3a-1）x+a²在[1，5]上是减函数，
∴$\frac{3a-1}{2}$≥5，
解得：a≥$\frac{11}{3}$，
∴f（2）=4-2（3a-1）+a²
=（a-3）²-3
≥（$\frac{11}{3}$-3）²-3
=-$\frac{23}{9}$，
∴f（2）的取值范围是[-$\frac{23}{9}$，+∞）；
（3）∵函数f（x）=x²-（5a-2）x-4在[2，+∞）上是增函数，
∴对称轴x=$\frac{5a-2}{2}$≤2，解得：a≤$\frac{6}{5}$

点评 本题考察了二次函数的性质，函数的单调性问题，是一道基础题．