Question

11．已知x＞1，解不等式$\frac{1}{2}{x}^{2}$-lnx-$\frac{1}{2}{e}^{2}$+1＞0．

Answer 1

分析 令f（x）=$\frac{1}{2}{x}^{2}$-lnx-$\frac{1}{2}{e}^{2}$+1，判断f（x）的单调性和零点，根据函数的单调性得出不等式的解集．

解答 解：令f（x）=$\frac{1}{2}{x}^{2}$-lnx-$\frac{1}{2}{e}^{2}$+1，则f′（x）=x-$\frac{1}{x}$，∵x＞1，∴f′（x）＞0，∴f（x）在（1，+∞）上是增函数，
∵f（e）=$\frac{1}{2}$e²-1-$\frac{1}{2}$e²+1=0，∴当x＞e时，f（x）＞0．
∴不等式$\frac{1}{2}{x}^{2}$-lnx-$\frac{1}{2}{e}^{2}$+1＞0的解集为（e，+∞）．

点评 本题考查了函数单调性在不等式中的应用，属于中档题．