Question

1．设 命题p：椭圆$\frac{x^2}{a^2}+{y^2}=1$，（a＞0）的焦点在x轴上；
命题q：a＞0时，不等式ax²-ax+1＞0对?x∈R恒成立．
若“p∧q”为假，“p∨q”为真，求a的取值范围．

Answer 1

分析 分别求出p，q为真时的a的范围，再根据复合命题的真假求出a的范围即可．

解答 解：椭圆$\frac{x^2}{a^2}+{y^2}=1$的焦点在x轴上，
∴p：a＞1．…（2分）
不等式ax²-ax+1＞0对?x∈R恒成立，且a＞0，
∴a²-4a＜0，解得0＜a＜4，∴q：0＜a＜4．…（5分）
∵“p∧q”为假，“p∨q”为真，∴p，q中必有一真一假．
①当p真，q假时，{a|a＞1}∩{a|a≥4}={a|a≥4}．          …（8分）
②当p假，q真时，{a|0＜a≤1}∩{a|0＜a＜4}={a|0＜a≤1}． …（11分）
故a的取值范围是{a|0＜a≤1，或a≥4}．                 …（12分）

点评 本题考查命题和复合命题真假的判断、考察椭圆以及二次函数恒成立等知识，属基本题型的考查．