Question

11．已知函数f（x）=$\frac{x}{3x+1}$，数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）．
（1）证明数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）记S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1，求证${S_n}＜\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 （1）由已知得$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}=3$，由此能证明数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是首项为1，公差3的等差数列，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由${a}_{n}{a}_{n+1}=\frac{1}{（3n-2）（3n+1）}$=$\frac{1}{3}（\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}）$，利用裂项求和法能证明${S_n}＜\frac{1}{3}$．

解答 证明：（1）∵函数f（x）=$\frac{x}{3x+1}$，数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*），
∴由已知得${a}_{n+1}=\frac{{a}_{n}}{3{a}_{n}+1}$，即$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}=3$，（2分）
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是首项为1，公差3的等差数列．（4分）
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+3（n-1）=3n-2，即${a}_{n}=\frac{1}{3n-2}$，n∈N^*．（6分）
（2）∵${a}_{n}{a}_{n+1}=\frac{1}{（3n-2）（3n+1）}$=$\frac{1}{3}（\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}）$．（8分）
S_n=$\frac{1}{1×4}+\frac{1}{4×7}+…+\frac{1}{（3n-2）（3n+1）}$
=$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}-\frac{1}{7}+…+\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}$）=$\frac{1}{3}（1-\frac{1}{3n+1}）$=$\frac{n}{3n+1}$，（11分）
${S_n}=\frac{n}{3n+1}＜\frac{1}{3}$，
∴${S_n}＜\frac{1}{3}$．（12分）

点评 本题考查等差数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和小于$\frac{1}{3}$的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．