Question

12．已知A（1，0，1），B（1，2，1），C（2，2，4），求△ABC的面积．

Answer 1

分析 利用坐标表示 $\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$，求出 $\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$夹角的余弦值，从而得出A的正弦值，再计算△ABC的面积．

解答 解：∵A（1，0，1），B（1，2，1），C（2，2，4），
∴$\overrightarrow{AB}$=（0，2，0），$\overrightarrow{AC}$=（1，2，3），
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=1×0+2×2+0×3=4，
|$\overrightarrow{AB}$|=2，
|$\overrightarrow{AC}$|=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{14}$；
∴cos＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$＞=$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{4}{2×\sqrt{14}}$=$\frac{\sqrt{14}}{7}$；
即cosA=$\frac{\sqrt{14}}{7}$；
∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{35}}{7}$；
△ABC的面积为：
S_△ABC=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$||$\overrightarrow{AC}$|sinA=$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{14}$××$\frac{\sqrt{35}}{7}$=$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了空间向量的坐标运算的应用问题，也考查了求三角形的面积问题，是基础题目．