Question

6．数列{a_n}满足a₁=1，且对任意的m，n∈N^*都有a_m+n=a_m+a_n+mn，则$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+…+\frac{1}{{{a_{20}}}}$等于（　　）

• A． $\frac{40}{21}$
• B． $\frac{20}{21}$
• C． $\frac{19}{10}$
• D． $\frac{20}{19}$

Answer 1

分析 数列{a_n}满足a₁=1，且对任意的m，n∈N^*都有a_m+n=a_m+a_n+mn，可得a_n+1-a_n=1+n，利用“累加求和”可得a_n，再利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：∵数列{a_n}满足a₁=1，且对任意的m，n∈N^*都有a_m+n=a_m+a_n+mn，
∴a_n+1-a_n=1+n，
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=n+（n-1）+…+2+1
=$\frac{n（n+1）}{2}$．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
则$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+…+\frac{1}{{{a_{20}}}}$=2$[（1-\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{20}-\frac{1}{21}）]$=2$（1-\frac{1}{21}）$=$\frac{40}{21}$．
故选：A．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“累加求和”与“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．