Question

6．如图，B、C是海岸线l上相距50km的两个海边小城，圆O是半径为10km的某海岛小城的环岛路，A为圆O上的物资中转站，其中∠AOC=$\frac{2}{3}$π，OC=25km，且l∥OA，为使中转站A的物资运往B城，计划从A地沿环岛路至某地P，再沿水路PQ至海岸线l上Q，最后沿海岸线QB至B城修建运输线，其中PQ∥OC，Q在线段BC上．
（1）设∠POC=θ，求运输线总长度y关于θ的函数；
（2）求运输线总长度的最小值．

Answer 1

分析 （1）设∠POC=θ，求出$\widehat{AP}$=10（$\frac{2}{3}$π-θ），PQ=25-10cosθ-$\frac{10\sqrt{3}}{3}$sinθ，CQ=$\frac{20\sqrt{3}}{3}$sinθ，即可求运输线总长度y关于θ的函数；
（2）利用导数求运输线总长度的最小值．

解答 解：（1）由题意，$\widehat{AP}$=10（$\frac{2}{3}$π-θ），PQ=25-10cosθ-$\frac{10\sqrt{3}}{3}$sinθ，CQ=$\frac{20\sqrt{3}}{3}$sinθ，
∴y=10（$\frac{2}{3}$π-θ）+25-10cosθ-$\frac{10\sqrt{3}}{3}$sinθ+50-$\frac{20\sqrt{3}}{3}$sinθ=$\frac{20π}{3}$+75-10θ-10cosθ-10$\sqrt{3}$sinθ（0＜θ＜$\frac{2}{3}$π）；
（2）y′=-10+10sinθ-10$\sqrt{3}$cosθ=0，
∴20sin（θ-$\frac{π}{3}$）=10，
∴θ=$\frac{π}{2}$，
∴0＜θ＜$\frac{π}{2}$，函数单调递减，$\frac{π}{2}$＜θ＜$\frac{2}{3}$π，函数单调递增，
∴θ=$\frac{π}{2}$，运输线总长度y最小，最小值为$\frac{10π}{3}$+75-10$\sqrt{3}$（km）．

点评 本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．