Question

15．在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且（a²+b²-c²）sinA=ab（2sinB+sinC）．
（1）求A；
（2）若a=1，求b+c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）（a²+b²-c²）sinA=ab（2sinB+sinC），利用正弦定理可得：（a²+b²-c²）a=ab（2b+c），化简再利用余弦定理即可得出．
（2）由余弦定理可得：${a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}-2bccos\frac{2π}{3}$，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）∵（a²+b²-c²）sinA=ab（2sinB+sinC），利用正弦定理可得：（a²+b²-c²）a=ab（2b+c），化为b²+c²-a²=-bc．
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$-\frac{1}{2}$，
A∈（0，π），∴$A=\frac{2π}{3}$．
（2）由余弦定理可得：${a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}-2bccos\frac{2π}{3}$，
∴1=（b+c）²-bc，即（b+c）²=1+bc≤1+$（\frac{b+c}{2}）^{2}$，b+c＞a=1．
解得：1＜b+c≤$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
∴b+c的取值范围是$（1，\frac{2\sqrt{3}}{3}]$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、三角函数求值、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．