Question

5．在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且$\sqrt{3}a=2csinA$．
（1）求角C的大小；
（2）若$c=\sqrt{7}$，且△ABC的周长为$5+\sqrt{7}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理可得sinC，即可得出；
（2）利用余弦定理、三角形周长、三角形面积计算公式即可得出．

解答 解：（1）因为$\sqrt{3}a=2csinA$，所以$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}$，
由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$，$sinC=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
又因为△ABC为锐角三角形，所以$C=\frac{π}{3}$．
（2）由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，7=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab，
△ABC的周长$a+b+c=5+\sqrt{7}$，c=$\sqrt{7}$．
所以a+b=5，ab=6，
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}absinC=\frac{1}{2}•6•\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、三角函数周长、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．