Question

13．已知抛物线C：y²=2px（p＞0），过点A（12，0）作直线MN垂直x轴交抛物线于M、N两点，ME⊥ON于E，AE∥OM，O为坐标原点．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）若抛物线C上存在不同的两点G、H关于直线y=x+m对称，求m取值的范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出$M（{12，4\sqrt{3}}）$，代入y²=2px，求p的值；
（Ⅱ）设两对称点为G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），由条件可设GH的方程为y=-x+b，与抛物线y²=4x消去y得关于x的一元二次方程，则△＞0①，由韦达定理可表示GH中点横坐标，代入y=-x+b得其纵坐标，再代入y=x+m得m与b的方程，联立①即可求得m的取值范围，

解答 解：（Ⅰ）因为MN垂直x轴，所以M、N关于x轴对称，所以|OM|=|ON|．（1分）
又因为A是MN中点，AE∥OM，所以E是ON中点，（3分）
又ME⊥ON，所以|OM|=|MN|，所以△OMN是等边三角形，所以∠MOA=30°，（5分）
所以$M（{12，4\sqrt{3}}）$，代入y²=2px，得p=2．（6分）
（Ⅱ）因为GH与直线y=x+m垂直，所以可设GH的方程为y=-x+b，（7分）
由$\left\{\begin{array}{l}y=-x+b\\{y^2}=4x\end{array}\right.$，得y²+4y-4b=0，（8分）
由△=16+16b＞0得b＞-1，（9分）
设G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），GH的中点为P（x₀，y₀），
由y₁+y₂=-4，得${y_0}=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}=-2$，
代入y=-x+b得x₀=b+2，（10分）
又因为P（x₀，y₀）在直线y=x+m上，所以有-2=b+2+m，得b=-4-m，（11分）
结合b＞-1，得m取值的范围为（-∞，-3）．（12分）

点评 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查轴对称问题，本题采用“方程、不等式”法，解决本题的关键是用数学式子充分刻画条件：两点关于直线对称．