Question

3．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=1，BC=2，点E为BC的中点．
（Ⅰ）证明：PE⊥ED；
（Ⅱ） 在PD上找一点M，使得EM∥平面PAB，请确定M点的位置，并给出证明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明PE⊥ED．
（2）设M（0，b，c），$\overrightarrow{PM}=λ\overrightarrow{PD}$，0≤λ≤1，利用向量法得到当M是PD的中点时，EM∥平面PAB．

解答 证明：（Ⅰ）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
由题意P（0，0，1），E（1，1，0），D（0，2，0），
$\overrightarrow{PE}$=（1，1，-1），$\overrightarrow{ED}$=（-1，1，0），
$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{ED}$=-1+1+0=0，
∴PE⊥ED．
解：（2）当M是PD中点时，EM∥平面PAB．
证明如下：
设M（0，b，c），$\overrightarrow{PM}=λ\overrightarrow{PD}$，0≤λ≤1，
则（0，b，c-1）=λ（0，2，-1）=（0，2λ，-λ），∴$\left\{\begin{array}{l}{b=2λ}\\{c-1=-λ}\end{array}\right.$，∴M（0，2λ，1-λ），
$\overrightarrow{EM}$=（-1，2λ-1，1-λ），面PAB的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），
∵EM∥平面PAB，∴$\overrightarrow{EM}•\overrightarrow{n}$=2λ-1=0，解得$λ=\frac{1}{2}∈[0，1]$，
∴M是PD的中点．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查满足线面平行的点的位置的确定，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．