Question

13．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{3x}{2}$，sin$\frac{3x}{2}$），$\overrightarrow{b}$=（cos$\frac{x}{2}$，-sin$\frac{x}{2}$），$\overrightarrow{c}$=（$\sqrt{3}$，-1），其中x∈R．
（Ⅰ）当$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$时，求x值的集合；　　
（Ⅱ）求|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$|的最大值及并给出对应的x值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据向量垂直的条件以及向量的数量积德坐标运算，得到cos2x=0，根据余弦函数的性质即可求出答案；
（Ⅱ）先计算模的平方，再根据正弦函数的图象和性质即可求出最大值和取最大值时x的值．

解答 解：（Ⅰ）由a⊥b，得a•b=0，即$cos\frac{3x}{2}cos\frac{x}{2}-sin\frac{3x}{2}sin\frac{x}{2}=0$．
则cos2x=0，得$x=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{4}（k∈{Z}）$．
∴$\left\{{x|x=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{4}，k∈Z}\right\}$为所求．
（Ⅱ）$|{a}-{c}{|^2}={（cos\frac{3x}{2}-\sqrt{3}）^2}+$${（sin\frac{3x}{2}+1）^2}$=$5+4sin（\frac{3x}{2}-\frac{π}{3}）$，
∵-1≤sin（$\frac{3x}{2}$-$\frac{π}{3}$）≤1，
∴1≤5+4sin（$\frac{3x}{2}$-$\frac{π}{3}$）≤9，
∴|a-c|有最大值为3．
当sin（$\frac{3x}{2}$-$\frac{π}{3}$）=1时，即$\frac{3x}{2}$-$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，取最大值，
解得x=$\frac{4}{3}$kπ+$\frac{5}{9}$π，k∈Z．

点评 本题考查了向量的数量积德坐标运算以及三角函数的化简，和三角函数的图象和性质，属于中档题．