Question

18．已知函数f（x）对一切x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0．
（1）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）证明f（x）在R上是减函数；
（3）若关于x的不等式f（4^x-3•2^x）+f（4^x-k）≤0在x∈[0，1]上有解，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用赋值法即可求f（0），根据函数f（x）的奇偶性的定义，利用赋值法即可得到结论；
（2）根据函数单调性的定义即可判断f（x）的单调性；          
（3）将不等式进行等价转化，结合函数的奇偶性和单调性的性质即可得到结论．

解答 解：（1）∵f（x）对一切x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），
令x=y=0，得：f（0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0，
令y=-x，得f（x-x）=f（x）+f（-x）=f（0）=0，
∴f（-x）=-f（x），∴f（x）是奇函数． …（3分）
（2）∵f（x）对一切x，y∈RR都有f（x+y）=f（x）+f（y），
当x＞0时，f（x）＜0．
令x₂＞x₁，则x₂-x₁＞0，且f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）＜0，
由（1）知，f（x₂）-f（x₁）＜0，∴f（x₂）＜f（x₁）．
∴f（x）在R上是减函数． …（7分）
（3）若关于x的不等式f（4^x-3•2^x）+f（4^x-k）≤0在x∈[0，1]上有解，
即f（4^x-3•2^x）≤f（k-4^x）在x∈[0，1]上有解，又f（x）是R上的减函数，
所以关于x的不等式4^x-3•2^x≥k-4^x在x∈[0，1]上有解，
即关于x的不等式k≤2•4^x-3•2^x在x∈[0，1]上有解，即k≤（2•4^x-3•2^x）_max
设g（x）=2•4^x-3•2^x，x∈[0，1]，令t=2^x，则g（t）=2t²-3t，t∈[1，2]，
则$g（t）=2{（t-\frac{3}{4}）^2}-\frac{9}{8}，t∈[1，2]$，
所以g（t）_max=g（2）=2，∴k≤2，
故 实数k的取值范围是（-∞，2]．…（12分）

点评 本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法结合函数单调性和奇偶性的定义是解决本题的关键．