Question

8．已知：定义在R上的函数f（x），对于任意实数a，b满足f（a+b）=f（a）f（b），且f（1）≠0，当x＞0时，f（x）＞1．
（1）求f（0）的值；
（2）证明f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；
（3）求不等式f（x²+x）＜$\frac{1}{f（2x-4）}$的解集．

Answer 1

分析 （1）令a=1，b=0，得出f（1）=f（1）•f（0 ），再结合当x＞0时，f（x）＞1．得出f（0）=1
（2）设x₁＜x₂，由已知得出f（x₂）=f（x₁+（x₂-x₁））=f（x₁）f（x₂-x₁）＞f（x₁），即可判断出函数f（x）在R上单调递增．
 （3）由（2），不等式化为x²+x＜-2x-4，解不等式即可．

解答 解：（1）令a=1，b=0则f（1）=f（1+0）=f（1）f（0），
∵f（1）≠0，
∴f（0）=1，
（2）证明：当x＜0时-x＞0
由f（x）f（-x）=f（x-x）=f（0）=1，f（-x）＞0得f（x）＞0，
∴对于任意实数x，f（x）＞0，
设x₁＜x₂则x₂-x₁＞0，f（x₂-x₁）＞1，
∵f（x₂）=f（x₁+（x₂-x₁））=f（x₁）f（x₂-x₁）＞f（x₁），
∴函数y=f（x）在（-∞，+∞）上是增函数．
（3）∵$\frac{1}{f（2x-4）}$=$\frac{f（0）}{f（2x-4）}$=f（-2x+4）
∴f（x²+x）＜$\frac{1}{f（2x-4）}$=f（-2x+4），
由（2）可得：x²+x＜-2x+4
即x²+3x-4＜0
解得-4＜x＜1，
∴原不等式的解集是（-4，1）．

点评 本题考查抽象函数求函数值、单调性的判定、及单调性的应用，考查转化、牢牢把握所给的关系式，对式子中的字母准确灵活的赋值，变形构造是解决抽象函数问题常用的思路．