Question

4．已知x，y，z∈（-1，1），且xyz=$\frac{1}{36}$，求函数u=$\frac{1}{1-{x}^{2}}$+$\frac{4}{4-{y}^{2}}$+$\frac{9}{9-{z}^{2}}$的最小值．

Answer 1

分析 由题意可得x²，$\frac{{y}^{2}}{4}$，$\frac{{z}^{2}}{9}$∈（0，1），运用等比数列的求和公式可得u=$\frac{1}{1-{x}^{2}}$+$\frac{4}{4-{y}^{2}}$+$\frac{9}{9-{z}^{2}}$=$\frac{1}{1-{x}^{2}}$+$\frac{1}{1-\frac{{y}^{2}}{4}}$+$\frac{1}{1-\frac{{z}^{2}}{9}}$=（1+x²+x⁴+…）+（1+$\frac{{y}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{4}}{{4}^{2}}$+…）+（1+$\frac{{z}^{2}}{9}$+$\frac{{z}^{4}}{{9}^{2}}$+…），再由三元基本不等式和无穷递缩等比数列的求和公式，即可得到最小值．

解答 解：由题意可得x²，$\frac{{y}^{2}}{4}$，$\frac{{z}^{2}}{9}$∈（0，1），
u=$\frac{1}{1-{x}^{2}}$+$\frac{4}{4-{y}^{2}}$+$\frac{9}{9-{z}^{2}}$=$\frac{1}{1-{x}^{2}}$+$\frac{1}{1-\frac{{y}^{2}}{4}}$+$\frac{1}{1-\frac{{z}^{2}}{9}}$
=（1+x²+x⁴+…）+（1+$\frac{{y}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{4}}{{4}^{2}}$+…）+（1+$\frac{{z}^{2}}{9}$+$\frac{{z}^{4}}{{9}^{2}}$+…）
=3+（x²+$\frac{{y}^{2}}{4}$+$\frac{{z}^{2}}{9}$）+（x⁴+$\frac{{y}^{4}}{{4}^{2}}$+$\frac{{z}^{4}}{{9}^{2}}$）+…
≥3+3$\root{3}{\frac{（xyz）^{2}}{36}}$+3$\root{3}{\frac{（xyz）^{4}}{3{6}^{2}}}$+…
=3（1+$\frac{1}{36}$+$\frac{1}{3{6}^{2}}$+…）=3×$\frac{1}{1-\frac{1}{36}}$=$\frac{108}{35}$．
当且仅当x²=$\frac{{y}^{2}}{4}$=$\frac{{z}^{2}}{9}$=$\frac{1}{36}$，取得最小值$\frac{108}{35}$．
则函数u的最小值为$\frac{108}{35}$．

点评 本题考查最值的求法，注意运用等比数列的求和公式，以及三元基本不等式，无穷递缩等比数列的求和公式，考查运算能力，属于难题．