Question

7．在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=$\sqrt{3}$，将△ABC沿BD折起到△PBD的位置，若平面PBD⊥平面CBD，则三棱锥P-BCD的外接球体积为$\frac{5\sqrt{5}}{6}π$．

Answer 1

分析 根据已知，求出三棱锥P-BCD的外接球半径，代入球的体积公式，可得答案．

解答 解：∵菱形ABCD中，∠A=60°，AB=$\sqrt{3}$，
∴BD=$\sqrt{3}$，AC=3，
即△BCD，△BAD是边长为$\sqrt{3}$的等边三角形，其外接圆半径为1，
将△ABC沿BD折起到△PBD的位置，且平面PBD⊥平面CBD，

取BD中点E，连接PE，CE，则∠PEC=$\frac{π}{2}$，PE=CE=$\frac{3}{2}$，
则${R}^{2}=（\frac{3}{2}-1）^{2}+（\frac{3}{2}-1）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}$，
解得：R=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
故三棱锥P-BCD的外接球体积V=$\frac{4}{3}{πR}^{3}$=$\frac{5\sqrt{5}}{6}π$，
故答案为：$\frac{5\sqrt{5}}{6}π$

点评 本题考查的知识点是球的内接多面体，球的体积计算，根据已知求出球的半径是解答的关键．