Question

2．已知$\left\{{\frac{f（n）}{n}}\right\}$是等差数列，f（1）=2，f（2）=6，则f（n）=n（n+1），数列{a_n}满足a_n+1=f（a_n），a₁=1，数列$\left\{{\frac{1}{{1+{a_n}}}}\right\}$的前n项和为S_n，则${S_{2015}}+\frac{1}{{{a_{2016}}}}$=1．

Answer 1

分析 易知$\frac{f（1）}{1}$=2，$\frac{f（2）}{2}$=3，从而可得$\frac{f（n）}{n}$=n+1，从而解出f（n）=n（n+1），由a_n+1=f（a_n）=a_n（a_n+1）＞0可求得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n}+1}$，
从而利用迭代法化简${S_{2015}}+\frac{1}{{{a_{2016}}}}$=S₂₀₁₄+$\frac{1}{{a}_{2015}+1}$+（$\frac{1}{{a}_{2015}}$-$\frac{1}{{a}_{2015}+1}$）=S₂₀₁₄+$\frac{1}{{a}_{2015}}$=S₂₀₁₃+$\frac{1}{{a}_{2014}}$=…=S₁+$\frac{1}{{a}_{2}}$=1．

解答 解：∵$\frac{f（1）}{1}$=2，$\frac{f（2）}{2}$=3，
又∵$\left\{{\frac{f（n）}{n}}\right\}$是等差数列，
∴$\frac{f（n）}{n}$=n+1，
故f（n）=n（n+1），
故a_n+1=f（a_n）=a_n（a_n+1）＞0，
故$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}（{a}_{n}+1）}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n}+1}$，
故${S_{2015}}+\frac{1}{{{a_{2016}}}}$
=S₂₀₁₄+$\frac{1}{{a}_{2015}+1}$+（$\frac{1}{{a}_{2015}}$-$\frac{1}{{a}_{2015}+1}$）
=S₂₀₁₄+$\frac{1}{{a}_{2015}}$
=S₂₀₁₃+$\frac{1}{{a}_{2014}+1}$+（$\frac{1}{{a}_{2014}}$-$\frac{1}{{a}_{2014}+1}$）
=S₂₀₁₃+$\frac{1}{{a}_{2014}}$
=…
=S₁+$\frac{1}{{a}_{2}}$
=$\frac{1}{1+1}$+$\frac{1}{1•（1+1）}$=1，
故答案为：n（n+1），1．

点评 本题考查了等差数列与函数的综合应用，同时考查了迭代法的应用．