Question

19．已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，且对任意的n∈N⁺，恒有S_n²=a₁³+a₂³+…+a_n³．
（1）求a₁，a₂的值；
（2）猜想数列{a_n}的通项公式a_n，并给予证明．

Answer 1

分析 （1）各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，且对任意的n∈N⁺，恒有S_n²=a₁³+a₂³+…+a_n³．分别取n=1，2即可得出．
（2）猜想：a_n=n．利用数学归纳法证明即可得出．

解答 解：（1）∵各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，且对任意的n∈N⁺，恒有S_n²=a₁³+a₂³+…+a_n³．
∴当n=1时，${a}_{1}^{2}$=${a}_{1}^{3}$，解得a₁=1．
当n=2时，$（1+{a}_{2}）^{2}$=1+${a}_{2}^{3}$，化为：${a}_{2}^{2}$-a₂-2=0，解得a₂=2．
（2）猜想：a_n=n．
下面利用数学归纳法证明：①当n=1时，a₁=1成立．
②假设当n=k∈N^*时，a_k=k．
则当n=k+1时，${S}_{k+1}^{2}$-${S}_{k}^{2}$=${a}_{k+1}^{3}$，
∴S_k+1+S_k=${a}_{k+1}^{2}$，
∴${a}_{k+1}^{2}$-a_k+1-2S_k=0，
即${a}_{k+1}^{2}$-a_k+1-2×$\frac{k（k+1）}{2}$=0，
解得a_k+1=k+1．
因此当n=k+1时也成立，
综上可得：?n∈N^*a_n=n成立．

点评 本题考查了递推关系的应用、数学归纳法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．