Question

9．已知n=∫${\;}_{0}^{2}$（$\frac{2}{π}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$+2x）dx，则二项式（x²-$\frac{2}{x}$）ⁿ的展开式中含x³的系数为-160（用数字作答）

Answer 1

分析 利用定积分求出n，然后利用二项式定理求解展开式中的x³的系数．

解答 解：n=∫${\;}_{0}^{2}$（$\frac{2}{π}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$+2x）dx=$\frac{2}{π}×\frac{1}{4}π×{2}^{2}$+${x}^{2}{|}_{0}^{2}$=2+4=6，
二项式（x²-$\frac{2}{x}$）⁶展开式的通项公式为T_r+1=C₆^r•（-2）^r•x^12-3r，
令12-3r=3，求得r=3，∴二项式（x²-$\frac{2}{x}$）⁶展开式中的x³项的系数为C₆³•（-8）=-160，
故答案为：-160．

点评 本题考查二项式定理与微积分基本定理，着重考查二项展开式的通项公式，考查理解与运算的能力，属于中档题．