Question

20．已知$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{4}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），求$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$的最大值．

Answer 1

分析 构造柯西不等式，使用柯西不等式解出最值．

解答 解：∵$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{4}{{b}^{2}}$=（$\frac{1}{a}$）²+（$\frac{2}{b}$）²=1，∴[（$\frac{1}{a}$）²+（$\frac{2}{b}$）²][1²+（$\frac{1}{2}$）²]≥（$\frac{1}{a}$×1+$\frac{2}{b}$×$\frac{1}{2}$）²，即（$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$）²≤$\frac{5}{4}$，∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$≤$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查了柯西不等式的应用，赢熟练掌握，属于中档题．