Question

12．已知数列{a_n}满足a_n+1-a_n=2ⁿ，且a₁=1．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=$\frac{{a}_{n}+1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）由于数列{a_n}满足a_n+1-a_n=2ⁿ，且a₁=1．可得n≥2时，a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．
（II）b_n=$\frac{{a}_{n}+1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}-1）（{2}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$，利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：（I）∵数列{a_n}满足a_n+1-a_n=2ⁿ，且a₁=1．
∴n≥2时，a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=2^n-1+2^n-2+…+2+1
=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$=2ⁿ-1．
当n=1时也成立．
∴a_n=2ⁿ-1．
（II）b_n=$\frac{{a}_{n}+1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}-1）（{2}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$（\frac{1}{2-1}-\frac{1}{{2}^{2}-1}）$+$（\frac{1}{{2}^{2}-1}-\frac{1}{{2}^{3}-1}）$+…+$（\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}）$
=1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．