Question

17．设f（x）=x²-2ax-a²-$\frac{3}{4}$，若对任意的x∈[0，1]，均有|f（x）|≤1，则实数a的取值范围是-$\frac{1}{2}$≤a≤$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由题意可得，二次函数的对称轴是x=a，根据二次函数的性质可知，由a与区间[0，1]的关系可得出f（x）在[0，1]内的最大值与最小值，可由最值的绝对值小于等于1，求得a的取值范围．

解答 解：∵f（x）=（x-a）²-2a²-$\frac{3}{4}$，
∴f（x）的对称轴为x=a，开口方向向上，
（1）当a≤0时，f（x）_min=f（0）=-a²-$\frac{3}{4}$，f（x）_max=f（1）=-a²-2a+$\frac{1}{4}$，
∵|f（x）|≤1，
则|f（0）|≤1，得：-$\frac{1}{2}$≤a≤$\frac{1}{2}$…①
|f（1）|≤1，得：-$\frac{1}{2}$≤a≤$\frac{1}{2}$或-$\frac{5}{2}$≤a≤-$\frac{3}{2}$…②，
∴a的取值范围是-$\frac{1}{2}$≤a≤0；
（2）当a≥1时，f（x）_min=f（1）=-a²-2a+$\frac{1}{4}$，f（x）_max=f（0）=-a²-$\frac{3}{4}$
由①，②得：a在此区间无取值范围；
（3）当0＜a≤$\frac{1}{2}$时，f（x）_min=f（a）=-2a²-$\frac{3}{4}$，f（x）_max=f（1）=-a²-2a+$\frac{1}{4}$，
|f（a）|≤1，得-$\frac{\sqrt{2}}{4}$≤a≤$\frac{\sqrt{2}}{4}$…③
由②，③得：0＜a≤$\frac{1}{2}$
（4）当$\frac{1}{2}$＜a＜1时，f（x）_min=f（a）=-2a²-$\frac{3}{4}$，f（x）_max=f（0）=-a²-$\frac{3}{4}$，
由①，③得：a在此区间无取值范围，
综上所述，-$\frac{1}{2}$≤a≤$\frac{1}{2}$，
故答案为-$\frac{1}{2}$≤a≤$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查了一元二次不等式恒成立问题，解题的关键是利用二次函数图象是特点，利用数形结合解决问题．