Question

6．y=x+$\frac{1}{x}$的单调区间：增区间（-∞，-1），（1，+∞）；减区间（-1，0），（0，1）；y=ax+$\frac{b}{x}$（a＞0，b＞0）的单调区间：增区间（-∞，-$\frac{\sqrt{ab}}{a}$），（$\frac{\sqrt{ab}}{a}$，+∞）；减区间（-$\frac{\sqrt{ab}}{a}$，0），（$\frac{\sqrt{ab}}{a}$，1）．

Answer 1

分析 先求出函数的导数，解关于导函数的不等式，从而求出其递减区间．

解答 解：（1）y=x+$\frac{1}{x}$，y′=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}}$，
令y′＞0，解得：x＞1或x＜-1，
令y′＜0，解得：-1＜x＜0或0＜x＜1，
∴y=x+$\frac{1}{x}$在（-∞，-1），（1，+∞）递增，在（-1，0），（0，1）递减；
（2）y′=a-$\frac{b}{{x}^{2}}$=$\frac{{ax}^{2}-b}{{x}^{2}}$，
令y′＜0，即ax²-b＜0解得：-$\frac{\sqrt{ab}}{a}$＜x＜$\frac{\sqrt{ab}}{a}$，且x≠0，
令y′＞0，即ax²-b＞0解得：x＜-$\frac{\sqrt{ab}}{a}$或x＞$\frac{\sqrt{ab}}{a}$，
∴y=ax+$\frac{b}{x}$在（-∞，-$\frac{\sqrt{ab}}{a}$），（$\frac{\sqrt{ab}}{a}$，+∞）递增，在（-$\frac{\sqrt{ab}}{a}$，0），（$\frac{\sqrt{ab}}{a}$，1）递减；
故答案为：（-∞，-1），（1，+∞），（-1，0），（0，1），（-∞，-$\frac{\sqrt{ab}}{a}$），（$\frac{\sqrt{ab}}{a}$，+∞），（-$\frac{\sqrt{ab}}{a}$，0），（$\frac{\sqrt{ab}}{a}$，1）．

点评 本题考查了函数的单调性问题，是一道基础题．