Question

2．函数f（x）=$\sqrt{{x}^{2}-2x+5}$+$\sqrt{{x}^{2}+6x+10}$的最小值．

Answer 1

分析 由配方可得函数表示f（x）表示P（x，0）到两点A（1，2），B（-3，1）的距离之和．作出点A关于x轴的对称点A'（1，-2），连接A'B，交x轴于P，运用两点之间线段最短，由两点的距离公式计算即可得到．

解答 解函数f（x）=$\sqrt{{x}^{2}-2x+5}$+$\sqrt{{x}^{2}+6x+10}$
=$\sqrt{（x-1）^{2}+{2}^{2}}$+$\sqrt{（x+3）^{2}+{1}^{2}}$，
设点P（x，0），A（1，2），B（-3，1），
则f（x）表示P到两点A，B的距离之和．
作出点A关于x轴的对称点A'（1，-2），
连接A'B，交x轴于P，
则||PA|+|PB|=|PA'|+|PB|≥|A'B|=$\sqrt{（1+3）^{2}+（-2-1）^{2}}$=5，
则当A，P，B'三点共线，取得最小值5，
则函数f（x）的最小值为5．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用几何方法：对称法，两点间的距离公式，属于中档题．