Question

7．等腰△OAB中，∠A=∠B=30°，E，F分别是直线0A、OB上的动点，$\overrightarrow{OE}$=λ$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OF}$=μ$\overrightarrow{OB}$，|$\overrightarrow{OA}$|=2，若$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{AB}$=9，则μ=$\frac{1}{2}$；若λ+2μ=2，则$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{BE}$的最小值是-10．

Answer 1

分析 根据向量的加减的几何意义和向量的数量积即可求出答案．

解答 解：∵等腰△OAB中，∠A=∠B=30°，|$\overrightarrow{OA}$|=2，
∴|$\overrightarrow{OB}$|=2，∠AOB=120°，
∴$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{AB}$=（$\overrightarrow{OF}$-$\overrightarrow{OA}$）（$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$）=（μ$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$）（$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$）=μ（$\overrightarrow{OB}$）²-（μ+1）$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$+（$\overrightarrow{OA}$）²=4μ-（μ+1）×2×2×（-$\frac{1}{2}$）+4=6μ+6=9，
∴μ=$\frac{1}{2}$；
∴$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{BE}$=（$\overrightarrow{OF}$-$\overrightarrow{OA}$）（$\overrightarrow{OE}$-$\overrightarrow{OB}$）（μ$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$）（λ$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$）=（λμ+1）$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$-λ（$\overrightarrow{OA}$）²-μ（$\overrightarrow{OB}$）²=-2（λμ+1）-4λ-4μ，
∵λ+2μ=2，
∴$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{BE}$=λ²-4λ-6=（λ-2）²-10，
当λ=2时，有最小值为-10，
∴$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{BE}$的最小值是-10，
故答案为：$\frac{1}{2}$，-10．

点评 本题考查了向量的加减的几何意义和向量的数量积，以及函数的性质，培养了学生的运算能力，属于中档题．