Question

10．已知函数f（x）=x³-bx²-4，x∈R，则下列命题正确的是（　　）

• A． 当b＞0时，?x₀＜0，使得f（x₀）=0
• B． 当b＜0时，?x＜0，都有f（x）＜0
• C． f（x）有三个零点的充要条件是b＜-3
• D． f（x）在区间（0．+∞）上有最小值的充要条件是b＜0

Answer 1

分析 令f（x）=0，得到矛盾，判断A错误，令b=-6，x=-1，求出f（-1）＞0，得到矛盾，判断B错误；求出函数的导数，通过讨论b的符号结合函数的单调性判断C正确，D错误．

解答 解：对于A：令f（x）=0，得：x³-bx²-4=0，
∴x²（x-b）=4，∴x²=$\frac{4}{x-b}$①，
若b＞0，x₀＜0，则x₀-b＜0，方程①无解，
故选项A错误；
对于B：若b＜0，?x＜0，不妨令b=-6，x=-1，
则f（-1）=-1-（-6）×1-4=1＞0，
故选项B错误；
对于C：f′（x）=3x²-2bx=x（3x-2b），
b＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{2b}{3}$或x＜0，
∴f（x）在（-∞，0）递增，在（0，$\frac{2b}{3}$）递减，在（$\frac{2b}{3}$，+∞）递增，
∴x=0是极大值点，此时f（0）=-4，函数f（x）只有1个零点，
故b＞0不合题意，
b＜0时：令f′（x）＞0，解得：x＜$\frac{2b}{3}$或x＞0，
∴f（x）在（-∞，$\frac{2b}{3}$）递增，在（$\frac{2b}{3}$，0）递减，在（0，+∞）递增，
∴x=$\frac{2b}{3}$是极大值点，若f（x）有三个零点，只需f（$\frac{2b}{3}$）＞0，
解得：b＜-3，故选项C正确；
对于D：由选项C得：若b＜0，
则f（x）在（0，+∞）递增，
而函数f（x）无最小值，故D错误，
故选：C．

点评 本题考察了函数的单调性问题，考察导数的应用，函数的零点问题，是一道中档题．