Question

7．证明：函数$f（x）=\frac{1}{{\sqrt{x}}}$在区间（0，+∞）上是减函数．

Answer 1

分析 根据函数单调性的定义利用定义法进行证明即可．

解答 解：任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，则$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{1}{{\sqrt{x_1}}}-\frac{1}{{\sqrt{x_2}}}$…（3分）
=$\frac{{\sqrt{x_2}-\sqrt{x_1}}}{{\sqrt{x_1}•\sqrt{x_2}}}=\frac{{（{\sqrt{x_2}-\sqrt{x_1}}）（{\sqrt{x_2}+\sqrt{x_1}}）}}{{\sqrt{x_1}•\sqrt{x_2}（{\sqrt{x_2}+\sqrt{x_1}}）}}$=$\frac{{{x_2}-{x_1}}}{{\sqrt{x_1}•\sqrt{x_2}（{\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}}）}}$…（6分）
因为x₂-x₁＞0，$\sqrt{x_1}＞0，\sqrt{x_2}＞0$，
所以$\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}＞0$，$\sqrt{x_1}•\sqrt{x_2}（{\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}}）＞0$，…（8分）
所以f（x₁）-f（x₂）＞0，
即函数$f（x）=\frac{1}{{\sqrt{x}}}$在区间（0，+∞）上是减函数．…（10分）

点评 本题主要考查函数单调性的判断，利用函数单调性的定义是解决本题的关键．