Question

17．已知$\frac{1}{2}$＜a＜4，函数f（x）=x³-3bx²+a有且仅有两个不同的零点x₁，x₂，则|x₁-x₂|的取值范围是（　　）

• A． （$\frac{1}{2}$，1）
• B． （1，2）
• C． （$\frac{3}{2}$，3）
• D． （2，3）

Answer 1

分析 处理一元三次函数的零点问题可借助其导函数．如本题有两个不同的零点即为其导函数有两个不同的根．

解答 解：∵函数f（x）有且仅有两个不同的零点，
∴f（x）的导函数f′（x）=3x²-6bx，有两个不同的根
由f′（x）=0得x=0或x=2b
∵f（0）=a≠0，
∴f（2b）=0，即$\frac{1}{2}$＜b＜1
则f（x）有一根是确定的，为2b．
f（x）的另一个根为负的，且f（x）=（x-2b）²（x+b）
∴另一个根为-b．
则|x₁-x₂|=3b
∴两个根的差的绝对值为（$\frac{3}{2}$，3）
故选：C．

点评 本题考查函数求导，及一元二次导函数求根．需要熟练掌握原函数与导函数的关系，由于是选择题，本题属于中档题．